Undersøkelse av tallfølger i GeoGebra

Hans-Petter Ulven

Stikkord:

• Regneark
• Summering av celler
• Rekursjon
• Regresjon

Webstart av siste versjon av GeoGebra:

Fibonacci-følgen

Fibonacci-følgen fremkommer ved å starte med to ett-tall og fortsette med å finne neste ledd ved å summere de to foregående:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...

Veiledning

1. Start GeoGebra pre-release med knappen over.
2. Vis regnearket med: Vis, Regneark
3. Legg inn tallet 1 i A1 og formelen =A1+1 i A2
4. Kopier A2 nedover med musen.
5. Gjett hva du skal taste inn i B1 og B2...
6. I B3 legger vi inn: =B1+B2
7. Så kopierer vi B3 nedover med musen, og vips...
8. La oss finne differansene, legg =B2-B1 i C1
9. Kopier C1 nedover med musen. Er det noe spesielt med tallene i C-kolonnen?
10. La oss finne delsummene av Fibonaccifølgen.
    Legg 0 i D1 og =D1+B1 i D2.
    Er det noe interessant med tallene i D-kolonnen?
    Sammenlign med de opprinnelige Fibonacci-tallene i B-kolonnen!

Tvinning av kabler

Når man tvinner kabler får man følgende sammenheng mellom antall kordeler og tykkelse:

• Hvordan går det videre? Finner du noe system? Prøv å finne fjerde ledd ved å tegne en figur.

• Klarer du å finne et uttrykk for n'te ledd a_n=f(n)? (Tips: Kan du dele figurene i geometriske figurer du klarer å finne antall kordeler i?)

Veiledning

1. Legg de naturlige tallene i A-kolonnen.
2. Legg inn 1, 7, 19 og 37 i B-kolonnen.
3. Legg inn differansene til tallfølgen i C-kolonnen:
   • Legg inn =B2-B1 i C1 og kopier nedover med musen.
4. Legg inn differansene til differansene i D-kolonnen.
5. Studer resultatet, formuler noen hypoteser og bruk dette til å fortsette tallfølgen med antall kordeler i B-kolonnen.
6. Vi antar at a_n=f(n) er av andre grad.(Hvorfor?)
   Merk av de tre første radene i A og B-kolonnen med musen, og overfør disse til det grafiske vinduet som punkter med høyreklikk og Lag liste med punkter.
7. Bruk f(x)=RegPoly[L_1,2] til å finne uttrykket for a_n=f(n).
8. Legg in funksjonsverdiene til f(x) i kolonne E og kontroller om funksjonen f(x) ser riktig ut.

Undersøkelse:

1. Legg inn de naturlige tallene i A-kolonnen og en geometrisk følge i B-kolonnen. Lag følgen av differanser i C-kolonnen og følgen av delsummer i D-kolonnen.
   Undersøk nærmere og formuler noen hypoteser om sammenhengene. Klarer du å finne et alternativt bevis for formelen for summen av en geometrisk rekke?
2. Tallfølgen 1, 5, 14, 30, ... er de såkalte pyramidetallene. Hvorfor de har fått dette navnet innser man enklest ved å spørre seg selv:
   Hvordan kunne jeg bygge pyramider med appelsiner, slik at pyramidene får dette antallet appelsiner totalt?
   Prøv å finne en eksplisitt formel for ledd nummer n i tallfølgen som utgjør pyramidetallene, med de teknikkene vi har gitt eksempler på her.
3. Vi skal analysere følgende spill matematisk:
   
   

Reglene er enkle:

• Hvite brikker kan bare flyttes mot høyre, svarte bare mot venstre.
• Hvis det er et ledig felt på den andre siden av en brikke, kan brikkene hoppe over en annen brikke.
• De hvite og svarte brikkene skal bytte plass.

a) Hvor mange trekk trenger man?
b) Fyll ut følgende tabell:

Antall brikker på hver side: n	1	2	3	4	5	...	n	...
Nødvendig antall flytt: an

c) Finn systemet i tallfølgen som oppstår.
e) Hvor mange trekk trenger man når det er 100 svarte og 100 hvite brikker?
f) Prøv å finne et uttrykk for a_n=f(n).