Statistiske kommandoer i GeoGebra

Hans-Petter Ulven

Stikkord:

Eksempler:

Webstart av siste versjon av GeoGebra:

Innledning

Ganske mange, kanskje for mange, statistiske kommandoer i GeoGebra, men noen av dem er det greit å vite om, da ting som gjennomsnitt, typetall, median, standardavvik osv. er aktuelt på mange nivåer i norsk skole.

Det finnes også endel kommandoer som gjør det enkelt å simulere ikke bare terning- og myntkast, men også køproblematikk mm. hvis man er interessert i denslags.

Eksempel 1: Kast med terninger

Veiledning

Vi skal gjøre noe så originalt som å kaste terninger...
Vi skal kaste 5 terninger hundre ganger og fremstille resultatet i et histogram, og deretter finne gjennomsnittlig antall øyne osv.

  1. Start GeoGebra pre-release med knappen over.
  2. Vis regneark med Vis, Regneark.
  3. Gå til celle A1 og legg inn: =TilfeldigMellom[1,6].
  4. Dra og kopier innholdet av A1 til B1, C1, D1 og E1.
  5. Dra og kopier cellene A1:E1 nedover ca. 100 rader.
    (Foreløpig har Pre-Release-versjonen av GeoGebra såpass mye debugging kode at det tar svært lang tid å gjøre store kopioperasjoner som krever rekalkulasjoner.
    Et tips her er å unngå å kopiere oppå noe, hvis noe skal overkopieres, så slett det først, det hjelper en god del på farten.)
  6. Gå til celle F1 og legg inn: =Sum[A1:E1]
  7. Dra og kopier F1 nedover 100 ganger.
  8. Merk tallene i F-kolonnen, høyreklikk og velg: Lag liste.
  9. Vi trenger en liste med klassegrenser og lager den med:
    klasser=Følge[i,i,5,30]
  10. Da er vi klar til å lage et histogram med: hist=Histogram[klasser,L_1]
  11. Bruk funksjonstasten F9 til å rekalkulere, hvert trykk på F9 kaster 5 terninger 100 ganger!
  12. Vi legger inn gjennomsnitt, median, typetall, varians og standardavvik for hvert forsøk (kast) i tekstbokser:
    "Gjennomsnitt: "+MiddelVerdi[L_1]
    "Standardavvik: "+SD[L_1]
    "Typetall: "+TypeTall[L_1]
    "Median: "+Median[L_1]

For å antyde Sentralgrenseteoremet legger vi inn normalfordelingen: f(x)=100 *e^(-((x - 17.5) / 3.54)² / 2) / (3.54 sqrt(2 * 3.14))
og får omtrent:



(Med 500 eller 1000 kast ville dette blitt mye bedre, men jeg avventer endelig versjon av GeoGebra 3.2 før jeg tør å prøve så store regneark...)

Et eksempel med tilfeldig trekning fra normalfordelingen. (Sampling.)

Veiledning

Vi kan trekke fra en normalfordeling med TilfeldigNormal[<gjennomsnitt>,<standardavvik>].

For noen år siden fulgte jeg med i bilbladenes testing av piggfrie dekk. Jeg la merke til at vinnerdekket fikk 10 poeng og nest beste dekk fikk 8. Resten fikk 7,6,... osv.

Jeg ble litt overrasket da jeg leste at de "seriøse" spesialistene som utførte disse "vitenskapelige" testene bare brukte 5 bremseprøver på hvert dekk, så jeg bestemte meg for å vurdere eventuelle problemer med en slik testprosedyre med litt eksperimentering:

La oss si at vi har et dekk A, som har en forventet bremselengde på 43.5 m, med et standardavvik på 2.5 meter.
Videre la oss anta at dekk B har en forventet bremselengde på 44.3 m, med et standardavvik på 3.5 meter.

Vi legger inn de 5 forsøkene for bil A i A1:E1, alle med kommandoen: =TilfeldigNormal[43.5,2.5]
Gjennomsnittet legger vi i F1: =Sum[A1:E1]/5

Tilsvarende for bil B i G1:K1, med gjennomsnittet i L1: =Sum[G1:K1]/5

Så legger vi en test i M1: =Dersom[F1<L1,1,2], som gir resultatet 1 hvis Bil A er best og 2 hvis bil B er best.

Så kopierer vi første linje i regnearket nedover 100 ganger.

Kolonne M representerer nå hva som vil skje hvis 100 bilmagasiner får utført en slik test med de samme dekkene.
Vi merker derfor denne kolonnen, høyreklikker og velger: Lag liste.

Så lager vi et histogram av resultatet: Histogram[{0,1,2},L_1], og får omtrent:

Har du noen kommentarer til resultatet? Hvor sikre er vi på at dekket som får 10 poeng er bedre enn dekket som får 8 poeng?

Køen i en kasse på REMA

"Det enkleste er ofte det beste!"

GeoGebra har kommandoer som sampler fra forskjellige fordelinger:

Flat fordeling: (Eksempelvis terning.) TilfeldigMellom[]
Normalfordeling: TilfeldigNormalfordeling[]
Binomialfordeling TilfeldigBinomial[]
Poissonfordeling TilfeldigPoisson[]

Jeg tenkte vi skulle se litt på Poissonfordelingen, som eksempelvis kan brukes til å produsere Ankomster til en kasse på REMA i et visst tidsintervall, og også hvor mange som ekspederes i et tidsintervall!

La oss se på følgende problemstilling:

Over uker har REMA på Byåsen brakt i erfaring at det i en viss tidsperiode på dagen i gjennomsnitt ankommer en kunde hvert halve minutt.

Intensitet/frekvens: Iankomst=2 [1/min]

La oss anta at kassen også i gjennomsnitt klarer å ekspedere to kunder i minuttet.

Ikasse=2 [1/min]

Da burde vel dette gå greit, burdet det ikke?

Vi får se...

Vi simulerer med tidsintervall på ett minutt. Hvert minutt kan vi da produsere ankomster med TilfeldigPoisson[2] og ekspedisjoner med TilfeldigPoisson[2].

I første rad i regnearket legger vi inn:

A1=0   Tid, startverdi
B1=0   Kø, startverdi
C1=0   Ekspederte, startverdi
D1=TilfeldigPoisson[2]   Ankomst neste minutt
E1 = Min[TilfeldigPoisson[2], B1]   Ekspederte neste minutt (ikke mer enn det er i køen)

I andre rad legger vi inn:

 

A2=A1+1   Teller opp tiden
B2=B1+ D1 - E1   Gammel kø+ankomster-ekspederte
C2=C1+E1   Gammel ekspederte+ekspederte
D2 kopieres fra D1   Ankomst neste minutt
E2 kopieres fra E1   Ekspederte neste minutt (ikke mer enn det er i køen)

Så simulerer vi en times tid ved å kopiere den andre raden nedover til rad 60.

Merk området A1:B60, som tilsvarer køen som funksjon av tiden, høyreklikk, og velg: Lag liste med punkter.

Da er vi klar til å simulere en times forløp av køutviklingen ved å trykke rekalkuleringsknappen F9!

Resultatet kan se omtrent slik ut:

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Trykk Ctrl-R, eller velg menyen Vis, Beregn alle verdier på nytt for å rekalkulere inne i GeoGebra-appleten!

Oppgaver: